spécialisation pour les fonctions symétriques monomiales

Dans l’étude des fonctions symétriques, la théorie des λ-anneaux est une méthode particulièrement efficace, et pourtant peu utilisée. On trouvera une illustration de cette théorie dans [5]. Le but de cet article est d’en présenter une nouvelle application. Notre résultat principal donne la spécialisation des fonctions symétriques monomiales sur l’alphabet (a− b)/(1− q). Il s’agit d’une généralisation d’un résultat classique, qui est par exemple rappelé par Andrews [1]. Il faut souligner que nous pouvons donner deux formulations différentes pour cette spécialisation. L’équivalence de ces deux expressions produit une identité algébrique multivariée qui semble difficile à démontrer directement. On a ainsi un nouvel exemple d’une situation où la théorie des λ-anneaux permet de démontrer une identité algébrique remarquable. Nos deux résultats et leurs démonstrations s’expriment uniquement en termes de λ-anneaux. Mais ils possèdent des rapports étroits avec la théorie des polynômes de Macdonald [8].